今ひとつ自分の中で評価の固まらない論文なのだけど、所詮はメモのようなブログだし、そうこう言っているうちに、毎日読んだり聞いたいるする論文の中で埋もれてしまうので、とりあえず書いておく。もしかしたらしばらくしたら評価が変わるかもしれない。
というわけで、Gali and van RensのPompeu-CREIペアによる"The Vanishing Procyclicality of Labor Productivity"を取り上げる。1984年ごろを境に、アメリカの景気循環の特徴が大きく変化したことはよく知られている。特に、GDPやそのほかの主要なマクロ変数の変動幅（volatility）が大きく下がったことをさしてThe Great Moderation（もちろんGreat Depressionに引っ掛けてある）と呼ばれている。Great Moderation関係の研究は直近の大幅な景気後退によって影が薄くなったともいえるが、1984年ごろを境に生じた変化は何も変動幅だけの話ではない。彼らは、特に労働市場に関係する変数の景気循環における特徴が1984年ごろを境にどのように変化したかを整理し、そのような変化の背景には労働市場のfrictions（摩擦）が減少したことがあると主張した。
では、1984年頃を境にどのような変化が生じたかを整理しよう。彼らは次の3点を挙げている。ちなみに、以下に挙げる数字は、全てBand Pass Filterで6-32四半期周期の変動だけを取り出して、計算したものである。
1. 労働生産性の景気との連動が弱くなった（彼らはvanishといっているが誇張しすぎだ）。例えば、（実質）GDPと1時間あたりのGDPとして測った労働生産性のCorrelation（相関係数）は1983年までのの0.60から1984年以降は0.25まで下がった。
2. 雇用者数の変動幅はGDP同様に1984年以降は低下したが、低下幅はGDPより小さかった。よって、雇用者数の（GDPの変動幅と比べた場合の）相対的変動幅は上昇した。例えば、民間セクターの雇用者数の相対的変動幅は1983年までの0.66（つまりGDPの変動幅の約2/3）から0.81に上昇した。
3. 一方、平均実質賃金の変動幅は上昇した。実質GDPの変動幅は低下したので、相対的変動幅で見れば大幅な上昇である。例えば、1時間あたりのcompensation（雇用者報酬でいいのかな？）の変動幅（standard deviation）は1983年までの0.71％から1984年以降は0.99％に上昇した。（実質GDPに対する）相対的変動幅は0.33から0.88へ、大きく上昇した。
彼らは、上で挙げた変化は、労働市場の摩擦が弱まったことで全て説明できると主張し、実際にモデルでそれを示した。彼らのモデルは、新規雇用の調整コストが入ったRBCモデルである。もう少し彼らのモデルの特徴を挙げると以下の通りである。
(a) 新規雇用にはquadratic costがかかるので、雇用の調整は緩慢となる。このコストの大きさの低下を、彼らは「労働市場の摩擦の低下」と解釈している。
(b) ショックはTFPショックと選好ショック（余暇の限界効用を変化させる）の二つ。
(c) 資本は一定と仮定されている。貯蓄に関する選択はない。これによって、各期の消費は、労働収入（＝賃金×労働投入）と一致する。さらに、単純化のためにUtility functionをlogとする。つまり、学部で扱う単純化されたRBCを思い出せばよい。logを使うことによって、所得効果と代替効果が打ち消しあい、TFPショックに対して雇用者数は変動しなくなる。学部レベルのモデルでよく使うトリックだ。
(d) 労働投入は雇用者数とそれぞれの労働者の「努力」（effort）で決定される。つまり、労働投入量を増やしたい場合、雇用者を増やすか、努力を増やすかの二通りしかない（労働時間に関する選択は省略されている）。また、努力は計測できないと仮定する。
(e) 賃金は企業と労働者の間の交渉で決まる。企業と労働者が交渉する経済環境に大きな変化がなければ賃金は変わらない仮定する。経済環境が大きく変わった場合には高い確率で賃金が再交渉され、変更されると仮定する。
では、このモデルにおいて、労働市場の摩擦の度合い（雇用者数の調整コストの大きさ）がどのようにモデルにおける景気循環に影響を与えるかを見るために、2つの極端なケースを見てみよう。
一つは、摩擦がないケースである。摩擦がなければ、家計は努力の調整よりも雇用者数の調整によって労働投入量を動かしたいと考えると仮定すると、摩擦がなければ、もちろん、労働投入量の調整は雇用者数の変動によって行われる。このような状況下、TFPに良いショックが加わるとどうなるか？Utility functionの仮定から、雇用者数は変化しないが、TFPが上昇するのでもちろん労働生産性は上昇する。一方、余暇の選好に対し負のショック（働くのが嫌になった！）があったときにはどうなるか？雇用者数は増加する。よって、GDPも上昇する。しかし、TFPが変わらずに労働供給が増加すると、労働生産性は低下する。では、この二つのショックが混ざっているとどうなるか？GDPが増加するケースは、TFPの上昇と余暇に対する選好の低下の二つのケースがあるが、一方では労働生産性が上がり、他方では労働生産性が下がるので、両方がランダムに起こる場合には、平均的には両方が打ち消しあって、労働生産性とGDPのリンク（相関）が弱まるのである。雇用者数の変動は大きい。なぜなら、仮定から、努力の調整が行われないからである。賃金の変動については、うまい説明ができないが、経済に摩擦がない場合、ショックが直接に経済環境の変動を引き起こすので、賃金の再交渉が頻繁に行われることになる。よって、賃金の変動は大きくなる。
では、逆のケースを考えてみよう。摩擦が非常に大きい場合、経済に何が起こるであろうか？摩擦が大きすぎて雇用者数の調整がまったくできないと仮定しよう。この場合、労働投入量の調整は努力の調整によってのみ行われる。この状況でTFPに良いショックが加わった場合、努力が増加するので、GDPは増加する。TFP の上昇に伴って労働生産性も上昇する。では、余暇の選好に対し負のショックが加わった場合何が起こるか？労働供給量は増えるが、それは努力の増加を通じてである。TFPは変わらず労働投入が増えるのでGDPは増加する。労働生産性はというと、GDPは増加するが、「目に見える（計測できる）」労働投入量は変わっていない（努力は計測されないことに注意！）ので、労働生産性は上昇する。この経済では、上で扱った経済と異なり、GDPが増加するときには労働生産性は常に上昇していることがわかるであろう。また、この経済では雇用者数は変動しない。賃金はというと、摩擦が大きいので、経済環境の変動が賃金交渉の場に反映されず、再交渉が頻繁に行われないことから、変動は小さくなる。
上の2つの経済を、1983年まで（摩擦が非常に大きな経済）と1984年以降（摩擦がない経済）として解釈すると、最初にあげた3つの特徴が見事に再現されていることがわかるであろう。もちろん、彼らは、両極端のケースを見ただけではなくて、実際の経済をこれらの両極端のケースの中間としてカリブレートして、最初にあげた数字が、大まかに言えばモデルによって再現されることを示した。
一般的に労働市場がよりflexibleになったというのは感覚的に納得のいくことなので、摩擦の減少をベースとした理論というのはとても魅力的である。但し、細部にはいろいろ不満がある。特に(2)は、努力という目に見えない怪しい要素によって生み出されているのが個人的にはあまり魅力的でない。(3)はほとんど(e)の仮定から自動的に生み出されたようなもので、別段面白くない。消費・貯蓄がないのも個人的には不満が残る。とはいえ、感覚的に納得のいく変化（労働市場の柔軟化）によって、景気循環の特徴に生じた大きな変化を説明できるというのは多分大きな魅力なのだろう。
Labor Market in Emerging Economies
これまでこのエントリとか、このエントリとかでEmerging Economies（日本語では新興市場というらしい、メキシコとか、アルゼンチンとか、トルコとかを思い浮かべて欲しい。以下ではEEと略す）の景気循環の特徴と、それをモデルにおいて再現するための、単純なモデルに対するさまざまな拡張方法について触れてきた。EEに関するモデルでは、そのうち労働市場の注意したペーパーや、多くのセクターがあるモデルとか、住宅の入ったモデルとか、リッチな金融セクターが入ったモデルとかが雨後の竹の子のように出てくるんだろうと思っていたらやっぱり出てきている。今回簡単に紹介するペーパー（"Labor Market Search in Emerging Economies" by Boz, Durdu, and Li）はEEの景気循環の中でも特に労働市場に注目したペーパーである。
この論文の貢献は3つに分類できる。
1. EEにおける、労働市場関連の景気循環の特徴を整理した。
2. シンプルなSmall Open Economy RBCモデル（日本語でなんと言うのだろう、小国開放経済だろうか）に、サーチ・マッチングに基づくスタンダードな労働市場の摩擦を導入すると、1で挙げた景気循環の特徴がうまく再現できることを示した。
3. さらに、以前取り上げた、EEにおいては民間消費の変動の方がGDPの変動より激しい（先進国では逆）というEEの景気循環における特徴は、スタンダードなSmall Open Economy RBCモデルに労働市場の摩擦を導入することによって再現することができることを示した。
では1から行ってみよう。特に労働市場関連の、EEの景気循環の特徴として以下の4点が挙げられる。
(1) 実質賃金の変動はEEの方が先進国よりずっと激しい。例えば、実質賃金の標準偏差の平均（median）をみると、EEは3.7％（GDPの標準偏差の1.6倍）、先進国は1.5％（GDPの標準偏差と大体同じ）である。
(2) 失業率はEE、先進国のどちらにおいても変動は激しい。失業率の標準偏差はEE平均は9.6％（GDPの標準偏差の4.4倍）、先進国では9.1%（6.3倍）である。
(3) 就業者数の変動も、EEと先進国で大きな違いはない。どちらにおいても就業者数の変動幅はGDPの変動幅より少し低い程度である。例えば、就業者数の標準偏差はEE平均は1.3％（GDPの標準偏差の0.6倍）、先進国では1.2%（0.9倍）である。
(4) 総労働時間の変動も、EEと先進国で大きな違いはない。どちらにおいても総労働時間の変動幅はGDPの変動幅より少し高い程度である。例えば、総労働時間の標準偏差はEE平均は2.4％（GDPの標準偏差の1.2倍）、先進国では1.7%（1.2倍）である。
以上の4点をまとめると、EEでは実質賃金の変動は先進国のそれより激しいものの、労働市場の数量（失業率、就業者数、労働時間）の変動はEEと先進国で大差ないと言える。ここまで読むと、労働市場に摩擦を導入すればうまくいくだろうなぁという気がしてくるはずだ。EEでは景気循環を引き起こすショックが先進国より大きいと考えてみよう。数量の調整に摩擦があれば数量の調整は緩慢になり、その代わりに価格（賃金）が大きく動くことが想像される。こういう書き方はしていないが、簡単に言えば今書いたようなロジックが働いて彼らの結果2が導き出されているのだと思う。
簡単に彼らのモデルの主要な要素を並べると：
では、彼らの結果3に移ろう。彼らによると、労働市場の摩擦がないモデル（以前のエントリで扱ったようなモデルである）では、利子率に対するショックが非常に大きい（データに比べて大きすぎる）か、労働者を増やすためにはworking capitalを準備しなければならないというアドホックな仮定を入れなければならないが、彼らのモデルはどちらも必要としていない。なぜか？彼らのモデルでは、景気が悪化した場合、労働市場の調整が緩慢なことからGDPが長期にわたって大きく低下する。GDP＝収入が長期的に下がることがわかっていれば、消費もそれにあわせて大きく減少する、というのが彼らの主張するロジックである。
この論文の貢献は3つに分類できる。
1. EEにおける、労働市場関連の景気循環の特徴を整理した。
2. シンプルなSmall Open Economy RBCモデル（日本語でなんと言うのだろう、小国開放経済だろうか）に、サーチ・マッチングに基づくスタンダードな労働市場の摩擦を導入すると、1で挙げた景気循環の特徴がうまく再現できることを示した。
3. さらに、以前取り上げた、EEにおいては民間消費の変動の方がGDPの変動より激しい（先進国では逆）というEEの景気循環における特徴は、スタンダードなSmall Open Economy RBCモデルに労働市場の摩擦を導入することによって再現することができることを示した。
では1から行ってみよう。特に労働市場関連の、EEの景気循環の特徴として以下の4点が挙げられる。
(1) 実質賃金の変動はEEの方が先進国よりずっと激しい。例えば、実質賃金の標準偏差の平均（median）をみると、EEは3.7％（GDPの標準偏差の1.6倍）、先進国は1.5％（GDPの標準偏差と大体同じ）である。
(2) 失業率はEE、先進国のどちらにおいても変動は激しい。失業率の標準偏差はEE平均は9.6％（GDPの標準偏差の4.4倍）、先進国では9.1%（6.3倍）である。
(3) 就業者数の変動も、EEと先進国で大きな違いはない。どちらにおいても就業者数の変動幅はGDPの変動幅より少し低い程度である。例えば、就業者数の標準偏差はEE平均は1.3％（GDPの標準偏差の0.6倍）、先進国では1.2%（0.9倍）である。
(4) 総労働時間の変動も、EEと先進国で大きな違いはない。どちらにおいても総労働時間の変動幅はGDPの変動幅より少し高い程度である。例えば、総労働時間の標準偏差はEE平均は2.4％（GDPの標準偏差の1.2倍）、先進国では1.7%（1.2倍）である。
以上の4点をまとめると、EEでは実質賃金の変動は先進国のそれより激しいものの、労働市場の数量（失業率、就業者数、労働時間）の変動はEEと先進国で大差ないと言える。ここまで読むと、労働市場に摩擦を導入すればうまくいくだろうなぁという気がしてくるはずだ。EEでは景気循環を引き起こすショックが先進国より大きいと考えてみよう。数量の調整に摩擦があれば数量の調整は緩慢になり、その代わりに価格（賃金）が大きく動くことが想像される。こういう書き方はしていないが、簡単に言えば今書いたようなロジックが働いて彼らの結果2が導き出されているのだと思う。
簡単に彼らのモデルの主要な要素を並べると：
- 個人が毎期毎期、消費、貯蓄、労働時間、余暇の時間を決める単純なSmall Open Economy RBCモデルをベースとしている。
- TFPショックと利子率のショックがある。利子率のショックが重要と考えられているのは以前のエントリで述べたとおりである。
- 労働市場の摩擦にはシンプルないわゆるMortensen-Pissarides（MP）モデルが使われている。このモデルでは、企業はある一定のコストを払って 求人を作る。失業者は職を探す。何人の失業者が職を見つけられるかは求職者の数と求人の数で決まってくる。景気がよければ企業は採用を増やしたいために求 人を増やすが、必ずしも求人を出せば人が雇えるわけではないので、景気がよくなっても失業者の減少（雇用の増加）には時間がかかるようになっているのであ る。離職の方は単純化されている；毎期毎期一定割合の労働者が職を失うと仮定されている。つまり、自分からやめるとか、企業がレイオフする人数を決めるよ うな複雑な要素は捨象されている。
- モデルにおいてもデータにおいても消費の変動はGDPの変動より激しい。モデルでは消費の標準偏差はGDPの1.4倍、データでは1.3倍である。
- 失業率の変動はモデル、データの両方でGDPの変動より激しいが、変動の大きさはモデルの方がずっと小さい。失業率の標準偏差はモデルではGDPの1.5 倍、データでは6.1倍である。但し、前に書いたかもしれないが、このモデルの欠点を解消する方法はたくさん発見されている（いろいろな方法がありすぎて 困るくらいである）ので特に大きな問題ではない。
- 実質賃金の変動はモデル、データの両方でGDPの変動より少し高いくらいである。実質賃金の標準偏差はモデルではGDPの1.7倍、データでは2.2倍である。
では、彼らの結果3に移ろう。彼らによると、労働市場の摩擦がないモデル（以前のエントリで扱ったようなモデルである）では、利子率に対するショックが非常に大きい（データに比べて大きすぎる）か、労働者を増やすためにはworking capitalを準備しなければならないというアドホックな仮定を入れなければならないが、彼らのモデルはどちらも必要としていない。なぜか？彼らのモデルでは、景気が悪化した場合、労働市場の調整が緩慢なことからGDPが長期にわたって大きく低下する。GDP＝収入が長期的に下がることがわかっていれば、消費もそれにあわせて大きく減少する、というのが彼らの主張するロジックである。
U.S. Post-War Debt/GDP Dynamics
今回取り上げるのは、G. Hall and Sargent, "Interest rate risk and other determinants of post WWII U.S. government debt/GDP dynamics"というペーパーである。ここ数年の不況及び財政の急拡大を受けて、アメリカの公的なDebt/GDP ratio（公的債務/GDP比率、以下ではDGRと呼ぶ）は大きく上昇し、 この先数年も上昇し続けることが見込まれている。数字を挙げると、2000年にはDGRは35％であったのが、2009年には55％に達している。これらの数字は、Social Security Fund（公的年金基金）が保有している債務、つまり政府の別の部門が保有している政府の債務を取り除いた数字であるが、この分を加えると、2000年には58％であったDGRが、2009年には86％にまで上昇し、まもなく、90％そして100％に達すると見込まれている。90％や100％という数字は日本と比べればなんでもないのだが、アメリカでは衝撃的な数字らしく、90％を超えたら維持不可能になってデフォルトの可能性が出てくるのではないかといった意見が出てきたり、何％までが維持可能なレベルなのかという議論が行われたりしている。
グラフを見たほうが直感的にわかりやすいので、以下にDGRのグラフを挙げておく。
黒い破線が社会保障基金が保有する分も含めた政府債務/GDP比率、赤い点線が、今回取り上げるペーパーの主な分析対象となっている、民間が所有する公的政務/GDP比率である。青い線は気にしなくてよい。
政府債務を考える上で大きな問題点は、特に先進国においては、デフォルトの数が少なすぎるので、モデルに即した議論が行われにくいということである。最近ではギリシャなどが近い状態にあって、デフォルトリスクによるプレミアムが上昇しており貴重なデータを提供しているが、ギリシャを基にして作ったモデルをアメリカや日本のような国に適用して役に立つのかという疑問はぬぐえない。個人的には、DGRが既に189％に達しており（CIAによる計算）、200％突破ももうすぐな日本がいずれデフォルトを起こす可能性は低くないと思う（もちろん個人的な勘である。もしかしたら、よく言われている、「日本は多くの政府債務が国内で保有されているから大丈夫」という仮説が正しいことが今後わかるのかもしれない）。そのときには、国としては苦しむかもしれないが、この分野の研究の発展のために必要なデータを提供することとなるだろう。ちなみにCIAによると日本のDGRは世界2位（1位はジンバブエで283％）、日本に最も近い先進国はイタリアだが、そのDGRは「たった」の115％。最近世間を騒がせているギリシャでさえ113％である。日本のDGRがいかに突出しているかがわかるであろう。
さて、このペーパーが行ったのは、第2次世界大戦後アメリカのDGRがどのように変化したか、その背後にあった要因は何か、についての細かい分析である。「成長さえすれば大丈夫」だとか「インフレを起こせばあっという間にDGRは低下する」とかよく言われているが、実際にこれらによって過去GDRが大きく下がったことがあったのか、などという質問に答えているわけである。言い方を変えれば、過去どのような要因でDGRが低下したかを知っておくことによって、DGRを下げるための方法がそれぞれどのくらい有効かがわかるのだ。過去のことがわかったからといって、今後どうすればよいかとか、現在の状況において何をすればよいかとかいった質問にすぐに答えられるわけではないのだが、この分析によって得られる結果の重要性がそれによって損なわれることはないであろう。特に、このペーパーの「売り」は、政府債務の種類（短期か長期か）を細かく見ることで、政府債務の平均的な金利を丁寧に計算し、政府がどのくらい短期債務・長期債務を保有しているかの構成が変わることによってどのくらい利払いが変化するかといったことまで見ていることなのだが、そういう細かい点は捨象して内容を整理する。
まずは、フレームワークから見ていこう。DGRが毎年どのように変化していくかというのは以下の式で表すことができる。例として、2009年から2010年の間の変化を表してみよう。
2010年末のDGR=2009年末のDGR×（1＋2010年の政府債務の名目金利ー2010年のインフレ率ー経済成長率）＋2010年の財政赤字/GDP比率
この式から以下のことが容易にわかる：
(1)2010年に政府が財政赤字を出したら、そのGDP比率は2010年末時点のDGRを増加させることとなる。
(2)2010年に政府が持っていた債務に関する名目金利が上昇すれば利払いが増えるので2010年末時点のDGRを増加させることとなる。
(3)2010年のインフレ率が上昇すれば2010年末時点のDGRは減少する。
(4)2010年の経済成長率が上昇すれば2010年末時点のDGRは減少する。
先ほど述べた、「成長さえすれば大丈夫」だとか「インフレを起こせばあっという間にDGRは低下する」といった話は(3)および(4)に対応する。この関係を使って、著者らはアメリカのDGRが第2次世界大戦後どのように変化していったかを分析した。分析の結果は以下の通りに要約される。
1．1945年から1974年にかけて、アメリカのDGRは97％（第2次世界大戦のための支出によって急速に蓄積した債務である）から17％に減少した。この80％の低下の内訳は以下の通りである。
(1-1) 16% はインフレ率が名目利子率を上回ったことによるものである。
(1-2) 32%は経済成長によるものである。
(1-3) 35％は政府が財政黒字を計上したことによる。
2．1970年代にはDGRは17％から20％に微増した。インフレ（11％）によって利払いの増加によるDGRの上昇分は打ち消されたが、継続的な財政赤字（6％）が微増に貢献した。
3．1981年から1993にかけての共和党大統領時代には、DGRは20％から48％まで28％上昇したが、その内訳は以下の通りである。
(3-1) 半分以上の18％は政府債務の蓄積によるものである。
(3-2) GDPの継続的な成長は13％のDGR減少に貢献した。
(3-3) その一方、インフレ率の低下で、実質的な利払いが増加した（23％の増加に貢献）。
4. クリントンの時代にはDGRは48％から29％まで約20％低下した。その主な要因は政府の財政収支黒字（DGRの16％改善に貢献）である。
5. 2001年から2009年のGWブッシュ、オバマの時代には、DGRは29％から49％まで約20％増加した。その主な要因は継続的な財政赤字（21％のDGR悪化に貢献）である。
とてもありがちな結論なのだが、高度経済成長のようなものが見込めないとすれば、財政収支（プライマリーバランス）の改善を行わないとDGRの低下は難しそうだ。
グラフを見たほうが直感的にわかりやすいので、以下にDGRのグラフを挙げておく。
黒い破線が社会保障基金が保有する分も含めた政府債務/GDP比率、赤い点線が、今回取り上げるペーパーの主な分析対象となっている、民間が所有する公的政務/GDP比率である。青い線は気にしなくてよい。
政府債務を考える上で大きな問題点は、特に先進国においては、デフォルトの数が少なすぎるので、モデルに即した議論が行われにくいということである。最近ではギリシャなどが近い状態にあって、デフォルトリスクによるプレミアムが上昇しており貴重なデータを提供しているが、ギリシャを基にして作ったモデルをアメリカや日本のような国に適用して役に立つのかという疑問はぬぐえない。個人的には、DGRが既に189％に達しており（CIAによる計算）、200％突破ももうすぐな日本がいずれデフォルトを起こす可能性は低くないと思う（もちろん個人的な勘である。もしかしたら、よく言われている、「日本は多くの政府債務が国内で保有されているから大丈夫」という仮説が正しいことが今後わかるのかもしれない）。そのときには、国としては苦しむかもしれないが、この分野の研究の発展のために必要なデータを提供することとなるだろう。ちなみにCIAによると日本のDGRは世界2位（1位はジンバブエで283％）、日本に最も近い先進国はイタリアだが、そのDGRは「たった」の115％。最近世間を騒がせているギリシャでさえ113％である。日本のDGRがいかに突出しているかがわかるであろう。
さて、このペーパーが行ったのは、第2次世界大戦後アメリカのDGRがどのように変化したか、その背後にあった要因は何か、についての細かい分析である。「成長さえすれば大丈夫」だとか「インフレを起こせばあっという間にDGRは低下する」とかよく言われているが、実際にこれらによって過去GDRが大きく下がったことがあったのか、などという質問に答えているわけである。言い方を変えれば、過去どのような要因でDGRが低下したかを知っておくことによって、DGRを下げるための方法がそれぞれどのくらい有効かがわかるのだ。過去のことがわかったからといって、今後どうすればよいかとか、現在の状況において何をすればよいかとかいった質問にすぐに答えられるわけではないのだが、この分析によって得られる結果の重要性がそれによって損なわれることはないであろう。特に、このペーパーの「売り」は、政府債務の種類（短期か長期か）を細かく見ることで、政府債務の平均的な金利を丁寧に計算し、政府がどのくらい短期債務・長期債務を保有しているかの構成が変わることによってどのくらい利払いが変化するかといったことまで見ていることなのだが、そういう細かい点は捨象して内容を整理する。
まずは、フレームワークから見ていこう。DGRが毎年どのように変化していくかというのは以下の式で表すことができる。例として、2009年から2010年の間の変化を表してみよう。
2010年末のDGR=2009年末のDGR×（1＋2010年の政府債務の名目金利ー2010年のインフレ率ー経済成長率）＋2010年の財政赤字/GDP比率
この式から以下のことが容易にわかる：
(1)2010年に政府が財政赤字を出したら、そのGDP比率は2010年末時点のDGRを増加させることとなる。
(2)2010年に政府が持っていた債務に関する名目金利が上昇すれば利払いが増えるので2010年末時点のDGRを増加させることとなる。
(3)2010年のインフレ率が上昇すれば2010年末時点のDGRは減少する。
(4)2010年の経済成長率が上昇すれば2010年末時点のDGRは減少する。
先ほど述べた、「成長さえすれば大丈夫」だとか「インフレを起こせばあっという間にDGRは低下する」といった話は(3)および(4)に対応する。この関係を使って、著者らはアメリカのDGRが第2次世界大戦後どのように変化していったかを分析した。分析の結果は以下の通りに要約される。
1．1945年から1974年にかけて、アメリカのDGRは97％（第2次世界大戦のための支出によって急速に蓄積した債務である）から17％に減少した。この80％の低下の内訳は以下の通りである。
(1-1) 16% はインフレ率が名目利子率を上回ったことによるものである。
(1-2) 32%は経済成長によるものである。
(1-3) 35％は政府が財政黒字を計上したことによる。
2．1970年代にはDGRは17％から20％に微増した。インフレ（11％）によって利払いの増加によるDGRの上昇分は打ち消されたが、継続的な財政赤字（6％）が微増に貢献した。
3．1981年から1993にかけての共和党大統領時代には、DGRは20％から48％まで28％上昇したが、その内訳は以下の通りである。
(3-1) 半分以上の18％は政府債務の蓄積によるものである。
(3-2) GDPの継続的な成長は13％のDGR減少に貢献した。
(3-3) その一方、インフレ率の低下で、実質的な利払いが増加した（23％の増加に貢献）。
4. クリントンの時代にはDGRは48％から29％まで約20％低下した。その主な要因は政府の財政収支黒字（DGRの16％改善に貢献）である。
5. 2001年から2009年のGWブッシュ、オバマの時代には、DGRは29％から49％まで約20％増加した。その主な要因は継続的な財政赤字（21％のDGR悪化に貢献）である。
とてもありがちな結論なのだが、高度経済成長のようなものが見込めないとすれば、財政収支（プライマリーバランス）の改善を行わないとDGRの低下は難しそうだ。